НОВОСТИ    КНИГИ    КАРТА САЙТОВ    ССЫЛКИ    О САЙТЕ   






предыдущая главасодержаниеследующая глава

Глава 2. Методы расчета показателей долговечности и безотказности деталей автомобиля

2.1. Методы расчета на износ

В общем случае изнашивание является нестационарным случайным процессом обычно монотонно возрастающим. Известно, что нестационарность случайного процесса наблюдается по математическому ожиданию М (t), дисперсии D (t) и частоте (рис. 2.1). При описании реализаций износа применяются нестационарные процессы со "слабым" перемешиванием или процессы с последействием [12], у которых корреляционная (автокорреляционная) функция Кs(τ)≈1 (рис, 2.1, а, б). Это означает, что на анализируемом участке реализация износа может быть аппроксимирована апериодической функцией. Если Ks(τ)<<1 или содержит периодические составляющие, то такой процесс можно отнести к процессам с "сильным" перемешиванием (рис, 2.1, в, г).

Рис. 2.1. Случайные процессы со 'слабым' (а, б) и 'сильным' (в, г) перемешиванием: а - процесс нестационарный по М (t); б - процесс нестационарный по М (t) и D (t); в - процесс стационарный по М (t) и D (f); г - процесс нестационарный по М (t) и D (t)
Рис. 2.1. Случайные процессы со 'слабым' (а, б) и 'сильным' (в, г) перемешиванием: а - процесс нестационарный по М (t); б - процесс нестационарный по М (t) и D (t); в - процесс стационарный по М (t) и D (f); г - процесс нестационарный по М (t) и D (t)

Нестационарные случайные процессы со слабым перемешиванием подразделяются на две группы. Первая группа - процессы нестационарные по математическому ожиданию М ((), называемые также "полуслучайными" (элементарными) [17], или фиксированная случайная величина

(2.1)

где S (t) - реализация процесса; S0 - случайная величина, описывающая реализации процесса в начальный момент времени; φ(t) - детерминированная монотонная функция времени.

Вторая группа - процессы нестационарные по М (t) и дисперсии D (t)

(2.2)

(2.3)

где S0, S1 - случайные величины, как правило, независимые.

Частным случаем зависимости (2.3) является "веерная" функция вида

(2.4)

где А - фиксированная величина.

Следует подчеркнуть, что к реализации процесса типа (2.4) при А = 0 сводится расчет по линейной гипотезе суммирования повреждения (см. п. 1.2), когда основная расчетная формула записывается в виде

(2.5)

где k - случайная величина; a - детерминированная или случайная величина.

При использовании в расчетах зависимостей (2.1)-(2.4) необходимо учитывать следующие особенности:

функции φ(f) и φ1(t) должны удовлетворять условию φ(t) = 0 и φ1(t) = 1 при t = 0, например φ(t) = αtβ, φ1(t) = exp (kt);

если случайная величина S0 в формуле (2.1) подчиняется таким законам распределения, как Вейбулла, Рэлея, гамма, логарифмически-нормальному, экспоненциальному без параметра сдвига, то функция распределения реализаций процесса F (S, t) для любого t > 0 будет описываться тем же законом, но с параметром сдвига ("порогом чувствительности" [12 ]) t0 = φ(t). Аналогично для зависимостей (2.2)-(2.4) параметр сдвига может быть введен с помощью детерминированной функции фа (f) или непосредственно в (f):

если функции распределения F (S, f) для различных t подчиняются одному и тому же закону распределения, а параметры закона являются монотонными функциями от t, то для расчёта

плотности распределения ресурса f,(t) следует использовать формулу (1.12), которую можно записать в виде

(2.6)

где f(S, t) - плотность распределения функции F (S, t); θ(S, t) - последняя общая ступень дифференцирования по S и t, входящая в F (S, t); Сп - предельное значение (односторонняя граница) S (t);

если реализации износа описываются зависимостями (2.1), (2.2), (2.4), то для расчета f(t) вместо (2.6) можно воспользоваться формулой для закона распределения функции одного случайного аргумента

(2.7)

где f[ ] - плотность распределения случайной величины S0 или S1; ψ(t) - зависимость для i, полученная из формул (2.1), (2.2), (2.4) при S = Сп.

Рассмотрим реализацию (2.1) в виде

(2.8)

при условии, что S0 подчиняется распределению Вейбулла


где a, m - параметры распределения.

При подстановке в (2.8) S (t) = Сп, где Сп - предельное значение износа, определим зависимости для ψ(t) и ψ'(t):


Если воспользоваться зависимостью (2,7), то плотность распределения ресурса

(2.10)

Формула позволяет получить несколько частных случаев для экспоненциального закона, m = 1; распределения Релея, m = 2; для линейных реализаций, b = 1.

Рассмотрим экспоненциальную зависимость

(2.11)

Поскольку коэффициенты k и A являются детерминированными величинами, то данную зависимость можно отнести к реализациям вида (2.2), если ввести в нее детерминированную функцию типа φ(t), равную 0 при t = 0.

Процесс, описываемый реализациями (2.11), является нестационарным по математическому ожиданию и дисперсии, так как


где S0, DS0 - математическое ожидание и дисперсия случайной величины S0.

Для определения плотности распределения ресурса f(t) воспользуемся формулой (2.7), при условии, что S0 подчиняется нормальному закону распределения

(2.12)

Из (2.11) при S (t) = Сп находим


а выражение для плотности распределения ресурса запишется в виде

(2.13)

При А = 1/b, k = 0 зависимость (2.13) соответствует плотности распределения ресурса для реализации износа S = S0 exp bt [1].

Рассмотрим случайный процесс износа, каждая реализация которого описывается зависимостью (2.3) и определяется двумя случайными величинами S0 и S1. Если эти величины независимы, то при расчете плотности распределения ресурса f (t) можно придерживаться следующей последовательности.

  1. Поскольку зависимость (2.3) является композицией законов распределения случайных величин, то для некоторых законов распределения (нормальных, гамма, Эрланга) удается получить f(S, t) аналитическим путем; дальнейший расчет производится по формуле (2.6).
  2. Если композиция законов распределения не выражается в аналитическом виде, то вид плотности распределения f (S, f) находится с использованием диаграммы, приведенной на рис" 2.2. Для этого на основании теорем о числовых характеристиках случайных величин рассчитываются моменты для суммы независимых случайных величин S0 и St:


(2.14)

где m (S) - начальный момент (математическое ожидание); D (S) - дисперсия (второй центральный момент); μ3(S), μ4(S) - соответственно третий и четвертый центральные моменты.

Осуществив переход к параметрам β1 и β0 по формулам

(2.15)

по диаграмме определяется вид закона распределения f(S, t).

3. Для нахождения параметров распределения f(S, f) воспользуемся методом моментов [8]. Заметим, что согласно этому методу моменты распределения f(S, t), зависящие от неизвестных параметров, приравниваются эмпирическим моментам, определяемым в нашем случае по формулам (2.14).

Для примера рассмотрим случайный процесс износа, каждая реализация которого аппроксимируется степенной зависимостью

<(2.16)br>

где c-неслучайная величина, c > 0.

Допустим, что величины 50 и подчиняются нормальным законам распределения с математическими ожиданиями m0, m1 и дисперсиями D0, D1. Известно, что для нормального закона третьи центральные моменты μ3(S0) = μ3(S1) = 0, четвертые центральные моменты μ4(S0) = 3D20, μ4(S1) = 3D21.

Найдем моменты распределения f (S|i)


Рис, 2.2. Диаграмма для определения вида закона распределения случайной величины 1 - нормальный закон; 2 - равномерное распределение; 3 - экспоненциальное распределен βмне; I - критическая область; II	- область U-образного β - распределения; III - область U-образного β-распределения;  область β-распределения, γраспределения; V - область логарифмического нормального распределения
Рис, 2.2. Диаграмма для определения вида закона распределения случайной величины 1 - нормальный закон; 2 - равномерное распределение; 3 - экспоненциальное распределен βмне; I - критическая область; II - область U-образного β - распределения; III - область U-образного β-распределения; область β-распределения, γраспределения; V - область логарифмического нормального распределения

Определим параметры β1, β2 по формулам (2.15). Очевидно, что β1 = 0, так как μ3(St) = 0. При подстановке D(St) и μ4(St) получим β2 = 3. Тогда, из диаграммы (рис, 2.2) следует, что плотность распределения f (S, 0) подчиняется нормальному закону.

Очевидно, общая ступень дифференцирования для плотности нормального закона "распределения f (S, t)


Выполнив преобразования согласно формуле (2.6), находим плотность распределения ресурса

(2.17)

Из формулы следуют частные случаи: α - распределение [при с = 1, D0 = 0 формула (1.10)3; распределение Бернштейна [при с = 1 формула (1.11)]; распределение, приведенное в работе [463 при D0 = 0, а также распределение, соответствующее реализации вида (2.1) при S1 = 1, D1 = 0 ("фиксированная" случайная величина).

В случае, если вместо реализации износа даны зависимости от времени для параметров распределения f(S|t), то расчет производится непосредственно по формуле (2.6). Так, для деталей двигателей [481 при среднем m(t) = a1t + a2t2 + a3t3 и среднем квадратическом отклонении σ(t) - b0 + b1t с учетом нормальности f (s) из (2.6) находим


Второй вариант расчета основывается на применении для оценки среднего Тср и среднего квадратического значений ресурса σT метода линеаризации. Например, для часто используемой зависимости

(2.19)

где S1 - случайная величина скорости изнашивания, при S = Сп

(2.20)

В некоторых случаях можно использовать уточненные формулы [39]

(2.21)

где v = σ (S1)/m (S1) - коэффициент вариации.

Таким образом, для наиболее часто используемых экспериментальных зависимостей износа от времени удалось получить выражения для плотности распределения ресурса f (t). Однако применение полученных формул ограничено тем, что предельный износ Сп описывается постоянной величиной. Практический интерес представляет случай когда Сп является случайной величиной, подчиняющейся определенному закону распределения f(Сп). Тогда плотность распределения ресурса или его параметры находятся различными способами. Универсальным является способ" основанный на использовании методов статистического моделирования (метод Монте-Карло). При этом моделируются случайные величины начального износа с .плотностью распределения f (S0), скорости изнашивания f (Cп) и случайные моменты концов реализаций, подчиняющиеся f (Cп).

Для нахождения моментов распределения f (t) можно воспользоваться, во-первых, методом линеаризации, во-вторых, формулами для среднего значения

(2.22)

i среднего квадратического отклонения

(2.23)

где f (t|Сп) - плотность распределения ресурса, рассчитанная по формулам (2.6) или (2.7).

Рассмотрим пример расчета плотности распределения ресурса детали в случае, когда реализации износа подчиняются степенной зависимости (2.16) при с = 1,2, Допустим, что в момент t = 0, f (S, 0) подчиняется нормальному закону с параметрами S0 = 80 мкм, σS0 = 20 мкм; случайные величины интенсивностей изнашивания S1 - нормальному закону с параметрами S1 = 1,1 мкм/тыс. км, σS1 = 0,3 . мкм/тыс. км;

распределение предельных значений износов - двухпараметрическому экспоненциальному закону

(2.24)

где λ - параметр распределения, λ = 20 мкм-1; Sп - параметр сдвига, Sп = 300 мкм.

При статистическом моделировании случайные величине наработок находятся по формуле


где Спi, S0i, S1i - случайные величины, подчиняющиеся соответствующим законам распределения.

Смоделированные случайные величины наработок ti подвергаются статистической обработке с целью определения f(t) и ее параметров.

При использовании метода линеаризации расчетные формулы для среднего значения и дисперсии записываются следующим образом:


где Cп, σSп - среднее значение и среднее квадратическое отклонение предельного износа.

Наконец, формула (2.22) расчета среднего значения f (t) для рассматриваемого примера записывается в виде


Аналогично σ2T2 из формулы (2.23) определяется зависимость и для σ2T3.

Выполненные расчеты показали, что

  • при статистическом моделировании f(t) подчиняется трех параметрическому распределению Вейбулла с параметрами m = 1,55, T0 = 403; порог чувствительности Тс = 50 тыс. км; соответственно! среднее значение Тc = 93,4 тыс. км, среднее квадратическое отклонение T1 = 30,2 тыс. км (рис, 2.3);
  • применение метода линеаризации позволило получить среднее значение Т2 = 94,5 тыс, км? среднее квадратическое отклонение σТ2 = 26,2 тыс* км;
  • при. расчете по формулам (2.22), (2,23) с использованием численного интегрирования среднее значение Т3 = 99 тыс, км, среднее квадратическое отклонение σT3 = 27,1 тыс. км*

Таким образом, моменты распределения ресурса в данном примере практически совпадают, что говорит о возможности использования любого из трех рассмотренных способов.?

предыдущая главасодержаниеследующая глава










© MOTORZLIB.RU, 2001-2020
При использовании материалов сайта активная ссылка обязательна:
http://motorzlib.ru/ 'Автомобилестроение, наземный транспорт и организация движения'
Рейтинг@Mail.ru